Una suma de cuadrados que se puede factorizar

En Precálculo se nos enseñó que la suma de 2 cuadrados no se puede factorizar en los números reales, o lo que es,

x^2 + y^2 no se puede factorizar (en los números reales).

Esto es muy cierto PERO hay un caso muy especial que si se puede factorizar. Tomemos de ejemplo el polinomio x^4 + 4. Este polinomio es una suma de cuadrados pues x^4 = (x^2)^2 y 4 = 2^2. Veamos que este polinomio es muy similar al polinomio x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2. La única diferencia entre estos 2 polinomios (x^4 + 4 y x^4 + 4x^2 + 4) es que el segundo tiene un 4x^2 adicional que no tiene el segundo. Entonces podemos decir que:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2.

Ahora sustitimos x^4 + 4x^2 +4 por su factorización (x^2 + 2)^2 y tenemos:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2.

Pero ahora tenemos una diferencia de cuadrados que si podemos factorizar (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)). Tenemos entonces que:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 =
((x^2 + 2) + 2x)((x^2 + 2) - 2x).

Pues entonces encontramos una factorización para x^4 + 4,

x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2),

por lo que este polinomio es una suma de cuadrados que si se puede factorizar. Este ejemplo se deriva de una identidad bien especial que la Identidad de Sophie Germain por si les interesa seguir informándose acerca de este ejemplo.

Pi

Una curiosidad matemática bien interesante es que en la Biblia se menciona indirectamente que el número Pi (la razón de la circunferencia de un círculo con su diámetro) es 3. Es interesante que aunque no se expresa el valor exacto de Pi ésta aproximación es una bastant buena, en mi opinión. El lugar en la Biblia donde se menciona esto es: 1ra Reyes 7:23.

Hizo fundir asimismo un mar de diez codos de un lado al otro, perfectamente redondo; su altura era de cinco codos, y lo ceñía alrededor un cordón de treinta codos.

Aqui tenemos una estructura que tiene un diámetro de 10 codos y una circunferencia de 30 codos. Por definición, Pi = Circunferencia / Diámetro = 30 codos / 10 codos = 3. Por lo tanto según este versículo bíblico Pi = 3, lo cual no está tan lejos de la aproximación aceptada de 3.14.

Aquí estamos

Ha pasado mucho tiempo desde la primera entrada. Les pido disculpas porque por razones personales no les he dado seguimiento. Pero gracias a Dios aquí estamos. En este blog se verán algunas curiosidades matemáticas, algunas simples y sencilla, otras de nivel avanzado. Intentaré que las entradas estén balanceadas, o sea que para cada entrada avanzada haya una simple. Nos veremos y espero que lo disfruten. No les tengan miedo a las matemáticas, éstas no son tan feas como parecen =D. Dios me los bendiga.

Hola

Hola mi nombre es Alexis Ortiz. Bienvenidos a mi blog a EL MISTERIO DE LAS MATEMATICAS. Aqui verán cosas curiosas de las matemáticas aparte de que también se discutirán algunos temas especiales de matemáticas. Disfruten. Dios los bendiga.