Una suma de cuadrados que se puede factorizar

En Precálculo se nos enseñó que la suma de 2 cuadrados no se puede factorizar en los números reales, o lo que es,

x^2 + y^2 no se puede factorizar (en los números reales).

Esto es muy cierto PERO hay un caso muy especial que si se puede factorizar. Tomemos de ejemplo el polinomio x^4 + 4. Este polinomio es una suma de cuadrados pues x^4 = (x^2)^2 y 4 = 2^2. Veamos que este polinomio es muy similar al polinomio x^4 + 4x^2 + 4 = (x^2 + 2)^2. La única diferencia entre estos 2 polinomios (x^4 + 4 y x^4 + 4x^2 + 4) es que el segundo tiene un 4x^2 adicional que no tiene el segundo. Entonces podemos decir que:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2.

Ahora sustitimos x^4 + 4x^2 +4 por su factorización (x^2 + 2)^2 y tenemos:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2.

Pero ahora tenemos una diferencia de cuadrados que si podemos factorizar (a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)). Tenemos entonces que:

x^4 + 4 = (x^4 + 4x^2 +4) - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 =
((x^2 + 2) + 2x)((x^2 + 2) - 2x).

Pues entonces encontramos una factorización para x^4 + 4,

x^4 + 4 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2),

por lo que este polinomio es una suma de cuadrados que si se puede factorizar. Este ejemplo se deriva de una identidad bien especial que la Identidad de Sophie Germain por si les interesa seguir informándose acerca de este ejemplo.